Олимпиада "Физтех" - ответы с кратким идейным решением на интересные задачи1. 75≤x<y≤190, пара (x,y) — забавная, если НОД(x,y)=1 и∣x−y∣<5.Так как x≤y, условие разности: y−x∈{1,2,3,4}.Случай d=1: y=x+1НОД(x,x+1)=1 всегда.75≤x≤189 => x=75,76,…,189 => 189−75+1=115 пар. ...(и тп)Сумма:115 + 57 + 75 + 56 = 3032. С помощью теоремы косинусов заменяем cosα,cosβ,cosγ на выражения со сторонами, подставляем в данное выражение, после алгебраических преобразований получается, что все члены, кроме 6a^2*b^2*c^2 сокращаются, и выражение упрощается до 3abc. По условию abc=3, значит, значение выражения постоянно и равно 93. Идея решения:∣x−4∣+∣x+4∣+2∣y∣≤10 симметрично относительно оси x.Сумма ∣x−4∣+∣x+4∣ минимальна при x между -4 и 4, что задаёт центральный прямоугольник высотой 10−∣4+4∣ по y, а при удалении от этого отрезка по x оставшаяся часть неравенства 2∣y∣≤10−(∣x−4∣+∣x+4∣) образует боковые треугольники или трапеции. Подсчёт показывает, что полная площадь равна 100−(4+4)^2 = 36.4. 5. Краткое решение/идея:Вынесем общий множитель: 3200^2001−2^14007=2^14007(25^2001−1). Число 25^2001−1 делится на 25−1=24=2^3 * 3, значит содержит множитель 2^3 но не 2^4 , так как 25≡1(mod 4) и сумма 25 ^ 2000 +...+1 содержит 2001 слагаемое, каждое нечётное, поэтому сумма нечётна при чётном количестве слагаемых. Проверим: 2001 нечётно => сумма нечётных слагаемых нечётна => плюс 1 даёт чётность, но мы уже учли делимость на 24. Итого v2=14007+3=14010, откуда 4^k делит число при k≤14010/2=7005
Когда я не могла найти слово, чтобы описать чем я занимаюсь, мне случайно помог основатель групп Бомбилы и Пусириут. Мы встретились на лесном панк-фестивале и он услышав мою историю сказал, что я священница. После этого я почувствовала, что все так, как должно быть;
